Zusammenfassung:
Wang Hong, der Gewinner der Fields-Medaille 2026, erlangte mit dem Beweis der dreidimensionalen Kaketani-Mengen-Vermutung die höchste Auszeichnung in der Mathematik. Dieses geometrische Problem, das sich über ein Jahrhundert erstreckte, hat in ihren Händen einen historischen Sprung von zwei Dimensionen zu drei Dimensionen geschafft und ist zum bedeutendsten mathematischen Durchbruch des letzten Jahrzehnts geworden.
Nur drei Monate später brachte OpenAI diese Forschung einen großen Schritt voran: Es löste nicht nur die schwierigere Vermutung der dreidimensionalen Kakeya-Maximalfunktion, sondern bewies auch zum ersten Mal, dass die Hausdorff-Dimension der vierdimensionalen Kakeya-Menge gleich 4 ist, wodurch der bisherige beste Rekord von Menschen, der bei 3,059 Dimensionen feststeckte, um eine Dimension nach oben verschoben wurde und die theoretische Obergrenze erreichte.
Dies ist jedoch nur die Spitze des Eisbergs der Herausforderung, die OpenAI für die mathematische Welt darstellt.
Dieses Mal veröffentlichte OpenAI 722 mathematische Manuskripte in einem Atemzug, klassifiziert in 372 Ergebnisfamilien, die Bereiche abdecken, die weit über das Kakeya-Problem hinausgehen, darunter die Quasi-Riemann-Hypothese, Hilberts zehntes Problem, Probleme mit katalanischen Konstanten und Dutzende anderer klassischer Probleme, die die akademische Gemeinschaft seit vielen Jahren beunruhigen. Alle Inhalte sind von einem internen Modell abgeleitet, das noch nicht einmal benannt wurde. Jedes Problem dauert durchschnittlich nur 3 Stunden.
OpenAI hat diese Manuskripte auf GitHub gepostet und innerhalb von 24 Stunden nach der Online-Veröffentlichung 10.000 Sterne erhalten.
Die Association for Human Mathematics sagte: „Mathematiker haben OpenAI nicht gebeten, diese Arbeit zu erledigen.“ Er erklärte auch, dass diese Manuskripte nicht verifiziert seien und lediglich ein weiteres „Performance-Marketing“ von OpenAI seien.
Was genau ist Manuskript Nr. 074?
Der Ursprung von Kakeyas Problem ist eine Frage, die der japanische Mathematiker Soichi Kaketani 1917 stellte: Angenommen, Sie haben eine dünne Nadel, legen sie auf eine ebene Fläche und drehen sie in einem Kreis (oder lassen Sie sie in alle Richtungen zeigen). Was ist der kleinste Bereich, den die Nadel überstreichen kann?
Intuitiv gesehen hat die Nadel eine Länge, also muss sie eine Scheibe herausstreichen, wenn sie sich einmal dreht, oder?
Das ist nicht der Fall. Später bewies der Mathematiker Besikovich, dass die von der Nadel überstrichene Fläche beliebig klein sein kann, solange die Rotationsmethode „intelligent“ genug ist, sogar kleiner als jede von Ihnen angegebene positive Zahl.
Auf dieser Grundlage konstruierten Mathematiker eine Menge mit „Nullfläche“, die noch Liniensegmente in jede Richtung enthält. Diese Art von Set wird „Besicovitch-Set“ oder „Kaketani-Set“ genannt.
Da die Fläche bis zu 0 betragen kann, ist dieses Problem damit nicht gelöst? Aber nein.
Denn „die Fläche ist Null“ bedeutet nur, dass diese Menge keine Dicke hat und keinen Platz einnimmt, kann aber nicht ausdrücken, wie „komplex“ sie ist.
Die mathematische Fläche einer Linie und einer Linienkugel können beide 0 sein, aber offensichtlich sind die beiden nicht dasselbe.
Also änderten die Mathematiker ihr Denken. Obwohl diese Menge keine Fläche hat, ähnelt sie einer Linie oder einer Fläche oder ähnelt sie eher einem Körper? Es gibt also „Dimensionen“.
Eine Linie ist eindimensional, ein Blatt Papier ist zweidimensional und ein Kasten ist dreidimensional. Aber für einige besonders „sparse“ Mengen kann die Dimension sogar eine Dezimalzahl sein, wie zum Beispiel 2,5 Dimensionen.
Die „Hausdorff-Dimension“ ist eines der am häufigsten verwendeten Lineale. Seine Logik besteht darin, sehr kleine Kugeln zu verwenden, um einen Satz abzudecken. Wie viele Bälle werden benötigt? Wenn der Radius der Kugel um die Hälfte reduziert und die Anzahl der benötigten Kugeln verdoppelt wird, ist die Menge eindimensional, wie eine Linie; ist es vervierfacht, ist es zweidimensional, wie eine Ebene; wenn es achtmal ist, ist es dreidimensional, wie ein fester Körper. Dazwischen liegt die Dezimaldimension.
In der zweidimensionalen Ebene haben Mathematiker bereits 1971 bewiesen, dass jede Menge, die Liniensegmente in alle Richtungen enthält, eine Dimension von 2 haben muss, auch wenn ihre Fläche 0 ist.
Was ist mit dem dreidimensionalen Raum? Was ist mit der vierten Dimension? Was ist mit höheren Dimensionen? Mathematiker vermuten: Solange eine Menge im n-dimensionalen Raum Liniensegmente mit Einheitslänge in alle Richtungen enthält, muss ihre Hausdorff-Dimension gleich n sein, auch wenn ihr Volumen 0 ist. Dies ist die berühmte „Kakeya-Mengenvermutung“.
Im Jahr 2026 gewann Wang Hong die Fields-Medaille. Der offizielle Grund für die Auszeichnung waren ihre bedeutenden Fortschritte beim Fourier-Limit-Problem und beim dreidimensionalen Kakeya-Problem. Die wichtigste und bekannteste davon ist die bereits erwähnte dreidimensionale Kakeya-Mengen-Vermutung.
Die beiden Probleme, die OpenAI dieses Mal löste, sind Wang Hongs „leistungsgesteigerte Versionen“.
Die erste davon ist die dreidimensionale Kakeya-Maximalfunktionsvermutung.
Das „Maximum“ im Namen bezieht sich auf die Praxis, „den Maximalwert auszuwählen“.
Angenommen, im Weltraum herrscht Nebel mit ungleichmäßiger Dichte. Nehmen Sie einen dünnen Strohhalm und saugen Sie ihn in verschiedenen Positionen. Die durchschnittliche Konzentration des im Stroh enthaltenen Nebels wird unterschiedlich sein.
Probieren Sie alle möglichen Interpolationen in dieser Richtung aus und zeichnen Sie nur die mit der höchsten Konzentration auf. Dieser „höchste Wert“ ist der „Maximalwert“ in dieser Richtung.
Ändern Sie die Richtung noch einmal, wiederholen Sie das Gleiche und erhalten Sie einen weiteren „höchsten Wert“. Durch das Sammeln der höchsten Werte in alle Richtungen erhält man eine entsprechende Beziehung zwischen „Richtung und höchstem Wert“. Mathematiker nennen es die „Kakeya-Maximumfunktion“.
Die zweite ist die Vermutung der vierdimensionalen Hausdorff-Dimension, d. h. die Verlagerung der vorherigen Schlussfolgerung von drei Dimensionen auf vier Dimensionen.
Die Dimension von Kakeya im vierdimensionalen Raum muss 4 sein. Das derzeit beste Ergebnis von Menschen in vier Dimensionen ist 3,059, das mit der „Planebrush“-Demonstration im Jahr 2021 erzielt wurde. Mit anderen Worten, es kann nur bewiesen werden, dass es mindestens 3,059 Dimensionen sind. Von 3,059 auf 4 entspricht dies einem direkten Anstieg in einer Dimension.
Von zweidimensional zu dreidimensional ist die Schwierigkeit des Problems fast eine „qualitative Veränderung“; Von dreidimensional zu vierdimensional ist es auch eine qualitative Veränderung. Denn je höher die Dimensionalität, desto mehr Möglichkeiten können sich diese „Röhren“ schneiden und stapeln, und desto komplexere geometrische Situationen müssen Mathematiker bewältigen.
Wenn also Mathematiker diese beiden Vermutungen selbst vervollständigen würden, würde es mindestens mehrere Jahre dauern.
Der gesamte Prozess ist laut eigener Aussage von OpenAI jedoch recht „einfach“.
Verwenden Sie ein unveröffentlichtes internes Modell und ein Aufforderungswort und lassen Sie es von einem Agenten ausführen. Im Durchschnitt verbraucht jedes Ergebnis nur etwa 3 Stunden Denkleistung von ChatGPT Pro.
Während des gesamten Bewertungsprozesses wurden etwa 4.000 Fragen in das Modell geworfen. Nach der Zusammenführung und Sichtung blieben aktuell 722 Manuskripte übrig.
OpenAI übertrifft die Fields-Medaille?
Wenn die Strohhalme nicht sehr oft gestapelt sind, ist die Gesamtfläche, die sie einnehmen, natürlich unbedeutend. Sobald daher die Maximumfunktionsvermutung etabliert ist, kann die Mengenversion der Vermutung direkt abgeleitet werden.
Daher sagten einige Internetnutzer, dass die KI nur drei Stunden brauchte, um die Fields-Medaille zu übertreffen. Dabei handelt es sich jedoch tatsächlich um eine Art Vorurteil. Es sieht nicht nur herab auf die Fields-Medaille, sondern versteht auch die Forschungsergebnisse von Wang Hong nicht.
Weil die Argumentation von OpenAI nicht bei Null beginnt. In der Ergebnisfamilie Nr. 074 wurde deutlich gemacht, dass sie auf den Forschungsergebnissen von Wang Hong basierte und nicht aus dem Nichts stammte.
Dies entspricht auch der Norm der mathematischen Forschung. Fast jeder große Durchbruch in der Geschichte der Menschheit steht auf den Schultern seiner Vorgänger, und Wang Hongs Beweis selbst basiert auch auf ihrer früheren Arbeit über „klebrige Kakeya-Mengen“ und den Ergebnissen vieler Mathematiker in den letzten dreißig Jahren.
Zufälliger ist, dass der MIT-Mathematiker Larry Guth bereits im März 2025 in einem Interview vorhersagte, dass der Übergang von zwei Dimensionen zu drei Dimensionen der schwierigste Schritt sei, und dass Wang Hongs Beweis wahrscheinlich transformiert und für höherdimensionale Probleme verwendet wird.
Wenn also die vierdimensionale Schlussfolgerung von OpenAI wahr ist, bestätigt sie in gewisser Weise auch das damalige Urteil des Mathematikers.
Wie sollten wir den Ausdruck „mehr als die Fields-Medaille“ verstehen?
Erstens belohnt die Fields-Medaille einen Mathematiker für seinen Gesamtbeitrag, nicht nur für eine einzelne Arbeit. Es ist nur so, dass in der an Wang Hong verliehenen Fields-Medaille tatsächlich die dreidimensionale Kaketani-Set-Vermutung das Kernergebnis ist.
Zweitens: Wenn OpenAIs Manuskript Nr. 074 tatsächlich wahr ist, dann ist es in Bezug auf die einzelne Dimension der mathematischen „Schwierigkeit“ tatsächlich schwieriger als die Frage, für die Wang Hong den Preis gewann: Denn die dreidimensionale Maximalfunktionsversion enthält die Mengenversion und das vierdimensionale Hausdorff-Dimensionsproblem ist nach drei Dimensionen ein weiteres Ziel der Menschheit, das noch nie zuvor gelöst wurde.
Aber es gibt ein Schlüsselwort in diesem Satz, und das ist „wenn“.
Manuskript Nr. 074 verfügt derzeit über keinen formellen Nachweis von Lean und wurde nicht von Experten begutachtet. Bis es verifiziert ist, handelt es sich lediglich um „eine Arbeit, die behauptet, ein schwierigeres Problem zu lösen“ und nicht um „ein schwierigeres Problem, das bewiesen wurde“. In der Geschichte der Mathematik gibt es viele „Beweise“, die angekündigt und dann zurückgezogen wurden.
Derzeit stecken wir immer noch beim Wort „wenn“ fest.
Wang Hongs Fields-Medaille ist nach monatelangen Tests und Überprüfungen durch die gesamte akademische Gemeinschaft nun zum Eckpfeiler dieses Fachgebiets geworden. Unabhängig davon, ob das OpenAI-Manuskript letztendlich etabliert ist oder nicht, ist sein Ausgangspunkt untrennbar mit diesem Eckpfeiler verbunden.
Die Verifizierung ist am schwierigsten
Die eigentliche Schwierigkeit ist die Verifizierung. Der Verifizierungsprozess der Mathematik ist einer der arbeitsintensivsten Aspekte der gesamten mathematischen Forschung.
Nehmen Sie Wang Hong als Beispiel.
Im Februar 2025 veröffentlichte sie den Beweis der dreidimensionalen Kakeya-Mengenvermutung auf der akademischen Preprint-Website arXiv, der etwa 127 Seiten lang ist.
Nach der Freigabe wird die Arbeit nicht sofort als „richtig“ erkannt. Der Artikel wurde einer wiederholten Selbstprüfung durch den Autor und einer ausführlichen Analyse durch bekannte Wissenschaftler wie Terence Tao unterzogen. Das Quanta-Magazin nannte es einen „einmal im Jahrhundert“-Beweis.
Die Verifizierungsarbeiten dauerten von Februar 2025 bis zur Bekanntgabe der Fields-Medaille im Juli 2026, was fast anderthalb Jahre dauerte. Auch heute noch haben viele Mathematiker die neuen Ideen in diesem Satz von Beweisen nicht vollständig aufgenommen und verdaut.
Das bedeutet, dass ein Beweis von mehr als 100 Seiten, der von einem Top-Mathematiker geschrieben wurde, mehr als ein Jahr lang einer kollektiven Begutachtung unterzogen werden muss, bevor er allgemein anerkannt wird.
Inzwischen sind 722 Artikel auf einmal eingetroffen.
Darüber hinaus sind viele der 722 von OpenAI veröffentlichten Manuskripte lange Argumente mit Hunderten von Seiten. Wenn jeder Artikel mehrere Monate lang von einem Experten gelesen werden muss, gibt es möglicherweise nur ein paar Dutzend Experten auf der Welt, die einen der Artikel verstehen können, oder sogar noch weniger.
Darüber hinaus hat jeder dieser Experten seine eigene Forschung, und es ist unmöglich, die ganze Arbeit, die ansteht, als „Rezensent“ für OpenAI aufzuzählen.
Besorgniserregender ist, dass ein Sprecher von OpenAI zugegeben hat, dass viele dieser Ergebnisse von den Mathematikern von OpenAI nicht vollständig verstanden werden, darunter auch das oben erwähnte Manuskript Nr. 074.
Die Reaktionen der Mathematik-Community sind daher eher skeptisch.
Diese Art von Sorge ist heutzutage nichts Neues.
Am 8. September 2026 gab OpenAI bekannt, dass sein internes Modell das Millennium-Problem der Navier-Stokes-Gleichung gelöst hat. Es hieß, dass etwa 10.000 Agenten für parallele Berechnungen eingesetzt wurden.
Der Mathematiker der Brown University, Gómez-Serrano, erwähnte jedoch in einem Vortrag in Harvard, dass der entsprechende 166-seitige Beweis „unverständlich“ sei.
Am 11. September gaben 25 Fields-Medaillengewinner (darunter Terence Teru und andere) gemeinsam eine öffentliche Erklärung mit dem Titel „Die schwerwiegende Fehleinordnung der künstlichen Intelligenz in der Mathematik“ heraus, in der sie KI-Unternehmen dafür kritisierten, dass sie „die Überwindung berühmter Probleme“ als Marketinginstrument zur Demonstration der Modellfähigkeiten nutzten und diese überstürzt veröffentlichten. Dies hat nicht nur die Entwicklung der Mathematik nicht gefördert, sondern hatte auch negative Auswirkungen auf die Mathematikgemeinschaft.
Am 21. September gab OpenAI die Gründung einer unabhängigen Beratergruppe aus Mathematikern bekannt (AGMAI, angesiedelt am Institute for Advanced Study in Princeton). Am 29. September erklärte die Beratergruppe, dass sie bei der Veröffentlichung der von der KI generierten mathematischen Ergebnisse auch das verwendete Modell, spezifische Eingabeaufforderungswörter und die Berechnungszeit offenlegen werde.
Aber von den 722 Manuskripten, die dieses Mal von OpenAI veröffentlicht wurden, wurden nur Gesamtzahlen wie „durchschnittliche Berechnungszeit“ bekannt gegeben. Es wurden keine prompten Worte angekündigt und keine Models bekannt gegeben.
MIT-Mathematiker Andrew Sutherland sagte: „Solange sie das Modell nicht veröffentlichen, damit jeder es reproduzieren kann, sollte die Idee, dass ein einzelner Agent das Problem mit einer einzigen Eingabeaufforderung lösen kann, als unbewiesen angesehen werden. Wir sollten verlangen, die ‚Quittung‘ zu sehen.“
Die Implikation ist, dass es sich bei diesen 722 Manuskripten allesamt um „Fake News“ handelt.
Am 7. Oktober glaubte die eingangs erwähnte Humanities and Mathematics Association, dass „die Veröffentlichung von mehr als 700 Dokumenten auf einmal kein Beweis für Akademiker, sondern für eine Art Macht ist.“ Anschließend forderte der Verband die Mathematiker auf, die Zusammenarbeit mit OpenAI einzustellen.
Natürlich gibt es noch eine andere Stimme. „Wenn wir die Antworten auf diese mathematischen Probleme wissen wollen, sehe ich keinen Grund, von den Unternehmen zu verlangen, sie zu verbergen … Das ist eine gute Sache für die Mathematik“, sagte Daniel Litt von der University of Toronto.
Mathematiker können diese 722 Manuskripte nicht in kurzer Zeit verifizieren, daher hoffen sie, sie durch Lean verifizieren zu können.
Lean ist ein „Beweisassistent“ und eine Programmiersprache. Mathematiker müssen jeden Schritt des Beweises in eine strenge Sprache übersetzen, die Lean verstehen kann. Das Lean-System prüft es dann Schritt für Schritt. Solange ein Schritt nicht eindeutig ist oder übersprungen wird, schlägt er fehl. Sobald der Beweis bestanden ist, ist er mit ziemlicher Sicherheit logisch fehlerfrei.
Laut öffentlichem Katalog haben von den 372 in 722 Manuskripten zusammengeführten Ergebnisfamilien 235 Lean-Formalbeschreibungen, was etwa 63 % ausmacht.
Aber Lean ist nicht allmächtig. Der Mathematiker Gil Kalai sagte, dass es möglicherweise auch Probleme mit der Lean-Verifizierung geben könnte. Wenn beispielsweise bei der Übersetzung eines mathematischen Problems in eine Lean-Sprache eine Abweichung in der Übersetzung selbst auftritt und die maschinelle Überprüfung erfolgreich ist, handelt es sich möglicherweise nicht um das ursprüngliche Problem. Darüber hinaus kann Lean nur bestätigen, dass es „logisch unvernünftig“ ist, kann aber nicht beurteilen, ob das Ergebnis neu oder wertvoll ist.
Daher kann das von Lean nicht formalisierte Manuskript Nr. 074 nur von Mathematikern verifiziert werden.
Wenn sich Manuskript Nr. 074 endlich als richtig erweist, muss es ein Meilenstein in der Geschichte der Mathematik sein.
Es dauerte mehr als 100 Jahre, das Kakeya-Problem in drei Dimensionen voranzutreiben, aber die KI machte in nur drei Stunden mehrere Fortschritte.
Ebenso könnte am Ende herausgefunden werden, dass Manuskript Nr. 074 tatsächlich falsch ist.
Sollte letztlich ein „Beweis“, den Menschen nicht in kurzer Zeit überprüfen können, als Beweis bezeichnet werden? Dies ist das eigentliche Rätsel, das der mathematischen Gemeinschaft bleibt.
Kommentare